Ориентированная площадь

Ориентированная площадь — обобщение понятия площади, заключённой внутри замкнутой кривой на плоскости. В отличие от обычной площади, имеет знак.

Определение

Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая ${\displaystyle \ell }$, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на ${\displaystyle \ell }$ точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), называемая индексом точки относительно ${\displaystyle \ell }$. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур ${\displaystyle \ell }$ обходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, называется охватываемой ${\displaystyle \ell }$ ориентированной площадью.

Свойства

Для ориентированной площади ${\displaystyle S}$ заключённой внутри замкнутой ломаной ${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$ на плоскости выполняется равенство

${\displaystyle S\cdot {\vec {N}}={\vec {OA_{1}}}\times {\vec {A_{1}A_{2}}}+\dots +{\vec {OA_{n}}}\times {\vec {A_{n}A_{1}}},}$

где ${\displaystyle {\vec {N}}}$ обозначает единичный вектор нормали к плоскости и ${\displaystyle \times }$ — векторное произведение.

Литература

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;