Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение подпространства ${\displaystyle W}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ с билинейной формой ${\displaystyle B}$ — это множество всех векторов ${\displaystyle V}$, ортогональных каждому вектору из ${\displaystyle W}$. Это множество является векторным подпространством ${\displaystyle V}$, которое обычно обозначается ${\displaystyle W^{\bot }}$.

Определение

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle F}$ с билинейной формой ${\displaystyle B}$. Вектор ${\displaystyle u}$ ортогонален слева вектору ${\displaystyle v}$, а вектор ${\displaystyle v}$ ортогонален справа вектору ${\displaystyle u}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle B(u,v)=0.}$ Левое ортогональное дополнение подпространства ${\displaystyle W^{\bot }}$ — это множество векторов, ортогональных слева каждому вектору ${\displaystyle W}$, то есть

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.}$

Аналогичным образом определяется правое ортогональное дополнение. Для симметричной или кососимметричной билинейной формы ${\displaystyle B(u,v)=0\Leftrightarrow B(v,u)=0,}$ поэтому определения левого и правого ортогонального дополнения совпадают.

Определение можно перенести на случай свободного модуля над коммутативным кольцом.^[1]

Свойства

• Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.
• Если ${\displaystyle X\subseteq Y}$, то ${\displaystyle Y^{\bot }\subseteq X^{\bot }.}$
• Радикал билинейной формы является подпространством любого ортогонального дополнения.
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }.}$
• Если форма ${\displaystyle B}$ является невырожденной, а пространство ${\displaystyle V}$ конечномерно, то ${\displaystyle \mathrm {dim} \;W+\mathrm {dim} \;W^{\bot }=\mathrm {dim} \;V.}$
• Если же ${\displaystyle V}$ — конечномерное евклидово пространство и ${\displaystyle B}$ — скалярное произведение (или же унитарное пространство и эрмитово скалярное произведение соответственно), то для любого подпространства ${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle V}$ разлагается в прямую сумму ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle W^{\bot }.}$^[2]

Пример

Пусть ${\displaystyle V}$ — двумерное пространство с базисом ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$, и матрица билинейной формы в этом базисе имеет вид ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.}$ Тогда ортогональное дополнение подпространства, натянутого на вектор ${\displaystyle ae_{1}+be_{2}}$ — это множество таких векторов ${\displaystyle xe_{1}+ye_{2},}$ что ${\displaystyle ay+bx=0.}$ Например, ортогональное дополнение пространства, натянутого на вектор ${\displaystyle e_{1}}$, совпадает с ним самим, тогда как ортогональное дополнение ${\displaystyle \langle e_{1}+e_{2}\rangle }$ натянуто на вектор ${\displaystyle e_{1}-e_{2}}$.