Основная лемма вариационного исчисления

Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.

Базовая версия

Если непрерывная функция ${\displaystyle f}$ на открытом интервале ${\displaystyle (a,b)}$ удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot h(x)dx=0}$

для всех финитных гладких функций ${\displaystyle h}$ на ${\displaystyle (a,b)}$, тогда ${\displaystyle f}$ является тождественным нулём^[1][2].

Замечания

• Гладкость может означать что функция ${\displaystyle f}$ бесконечно дифференцируема^[1], но чаще интерпретируется как то, что функция ${\displaystyle f}$ дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывна^[2].
• Финитность означает, что ${\displaystyle h}$ обнуляется за пределами замкнутого интервала ${\displaystyle [c,d]\subset (a,b)}$, но часто достаточно условие того, что ${\displaystyle h}$ (или ${\displaystyle h}$ и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала ${\displaystyle [a,b]}$, в этом случае ${\displaystyle h}$ предполагается определённой на интервале ${\displaystyle [a,b]}$.