Основная теорема аффинной геометрии

Основная теорема аффи́нной геометрии говорит, что биективное отображение евклидовой плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием, то есть оно записывается в координатах как

${\displaystyle (x,y)\mapsto (a\cdot x+b\cdot y+v,c\cdot x+d\cdot y+w)}$

для каких-то констант ${\displaystyle a,b,c,d,v,w}$.^[1] В частности из теоремы следует, что любое такое отображение непрерывно.

Так называются и обобщения этого результата на пространства высших размерностей, а так же на векторные пространства над другими полями и телами. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.^[2]

Формулировка

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над телом ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle V'}$ — векторное пространство над телом ${\displaystyle K'}$. Определим полулинейное отображение как отображение ${\displaystyle f:V\rightarrow V'}$, удовлетворяющее свойству

${\displaystyle f(\lambda x+\mu y)=\phi (\lambda )f(x)+\phi (\mu )f(y)\ \forall x,y\in V\ \forall \lambda ,\mu \in K,}$

где ${\displaystyle \phi }$ — изоморфизм тел ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$. Пусть ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$ — аффинные пространства, ассоциированные с ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V'}$ соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение ${\displaystyle F:S\rightarrow S'}$, удовлетворяющее свойству

${\displaystyle F(A)-F(B)=f(A-B)\ \forall A,B\in S,}$

где ${\displaystyle f:V\rightarrow V'}$ — полулинейное отображение.

Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение ${\displaystyle F:S\rightarrow S'}$ удовлетворяет следующим условиям:

• ${\displaystyle \operatorname {dim} {{\texttt {<}}F(S){\texttt {>}}}\geq 2}$
• Если ${\displaystyle K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, то образ любой прямой прямая или точка
• Если ${\displaystyle K=K'=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка

Тогда ${\displaystyle F}$ — полуаффинное отображение.^[3]

Вариации и обобщения

• Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:

Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.^[1]

Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ являются аффинными, так как на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ есть только тривиальный автоморфизм.

• Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
• Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
• Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность ${\displaystyle F}$, конечномерность ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle S'}$, а также совпадение их размерностей, то в случае ${\displaystyle K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.^[2]

Применение

Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.