Особое решение

Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями, не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее.

Определение

Рассмотрим уравнение

${\displaystyle F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)}$

где ${\displaystyle F(x,y,p)}$ — ${\displaystyle C^{1}}$-гладкая функция в некоторой области ${\displaystyle G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)}}$. Решение ${\displaystyle y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,}$ называется особым решением уравнения (1), если каждая точка ${\displaystyle (x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,}$ соответствующем ему интегральной кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Коши с начальным условием

${\displaystyle y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})}$.

Другими словами, в каждой точке ${\displaystyle (x,y)}$ особое решение касается другого решения, которое не совпадает с ним тождественно ни в какой сколь угодно малой окрестности этой точки^[1].

Свойства

• Особое решение (точнее, его график) является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).

• Дискриминантная кривая уравнения (1) — это множество (например, кривая или совокупность кривых, но также бывает и точкой или пустым множеством) на плоскости переменных ${\displaystyle (x,y)}$, задаваемое уравнениями ${\displaystyle F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0}$. Особое решение уравнения (1), если оно существует, всегда содержится в дискриминантной кривой этого уравнения.^[2] Дискриминантная кривая может состоять из нескольких кривых, обладающих разными свойствами, некоторые из них могут быть графиками особых решений, а некоторые могут и не быть. Обратное не верно: дискриминантная кривая не обязательно является решением уравнения (а если является, то не обязательно особым)^[2].

• Из сказанного выше следует, что для практического отыскания особых решений уравнения конкретного уравнения нужно сначала найти его дискриминантную кривую, а затем проверить, является ли она (каждая её ветвь, если их несколько) особым решением уравнения (1), или нет^[2].

Примеры

1. Дискриминантная кривая уравнения Чибрарио ${\displaystyle (y')^{2}=x}$ — координатная ось ${\displaystyle x=0}$ — является не решением, а геометрическим местом точек возврата его интегральных кривых.

2. Дискриминантная кривая уравнения ${\displaystyle (y')^{2}-y^{2}=0}$ — координатная ось ${\displaystyle y=0}$ — является решением этого уравнения, но его график не пересекается ни с какими другими интегральными кривыми этого уравнения, поэтому это решение не является особым.

Особые решения дифференциальных уравнений (жирные линии): уравнения Клеро (слева) и уравнения ${\displaystyle (y')^{2}=y}$ (справа).

3. Простыми примерами дифференциальных уравнений, имеющих особые решения, являются уравнение Клеро и уравнение ${\displaystyle (y')^{2}=y}$, неособые решения которого задаются формулой ${\displaystyle y={\frac {1}{4}}(x-c)^{2}}$ с постоянной интегрирования ${\displaystyle c}$, а особое решение имеет вид ${\displaystyle y=0}$.

4. Дискриминантная кривая уравнения ${\displaystyle (y')^{2}=4y^{3}(1-y)}$ состоит из двух непересекающихся ветвей: ${\displaystyle y=1}$ и ${\displaystyle y=0}$. Обе они являются решениями этого уравнения. Однако первая из них является особым решением, а вторая — нет: в каждой точке линии ${\displaystyle y=1}$ она касается какой-либо другой интегральной кривой этого уравнения, а к линии ${\displaystyle y=0}$ интегральные кривые лишь приближаются асимптотически при ${\displaystyle x\to \infty }$^[3].