Относительная внутренность

Относительная внутренность множества — уточнение концепции внутренности, применяется для множеств меньшей размерности внутри пространства большей размерности. Для заданного множества ${\displaystyle S}$ определяется как внутренность в его аффинной оболочке множества ${\displaystyle S}$^[1]:

${\displaystyle \operatorname {relint} S:=\{x\in S\mid \exists \varepsilon >0,N_{\varepsilon }(x)\cap \operatorname {aff} S\subseteq S\}}$,

где ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ означает аффинную оболочку множества ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle N_{\varepsilon }(x)}$ — шар радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle x}$. Может быть использована любая метрика для построения шара: все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ относительная внутренность может быть также охарактеризована как^[2][3]:

${\displaystyle \operatorname {relint} C:=\{x\in C\mid \forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}}$.