Отрезок

У этого термина существуют и другие значения, см. Отрезок (значения).

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок AB (выделен красным)

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, обозначается символом ${\displaystyle AB}$. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают ${\displaystyle AB}$ или ${\displaystyle |AB|}$.

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (геометрия)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным отрезком или закреплённым вектором^[1]. Например, направленные отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Основная статья: Промежуток (математика)

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел ${\displaystyle \{x\}}$, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, где заранее заданные вещественные числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a<b)}$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа ${\displaystyle x}$, удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle a<x<b}$, называются внутренними точками отрезка^[2].

Отрезок обычно обозначается ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число ${\displaystyle |a-b|=b-a}$ называется длиной числового отрезка ${\displaystyle [a,b]}$.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой ${\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}$.

Система сегментов обозначается ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$. Подразумевается, что каждому натуральному числу ${\displaystyle n}$ поставлен в соответствие отрезок ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$.

Система сегментов ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ называется стягивающейся, если^[3]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}$

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

${\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}$

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности^[4].

Неперекрывающиеся отрезки

Два отрезка называются неперекрывающимися, если они пересекаются не более чем по одной точке.

Множество отрезков, в котором любые два отрезка не перекрываются, называется системой неперекрывающихся отрезков.

Конечная система неперекрывающихся отрезков, каждый из которых включается в отрезок ${\displaystyle [a;b]}$, называется подразбиением отрезка ${\displaystyle [a;b]}$.

Подразбиение отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ такое, что его объединение даёт весь отрезок ${\displaystyle [a;b]}$, называется разбиением отрезка ${\displaystyle [a;b]}$^[5].

См. также

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая