Параллелизуемое многообразие

Параллелизуемое многообразие — многообразие ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$, допускающее поле реперов ${\displaystyle e=(e_{1},e_{2},...,e_{n})}$, то есть ${\displaystyle n}$ линейно независимых в каждой точке векторных полей ${\displaystyle e_{i}}$.

Поле ${\displaystyle e}$ задает изоморфизм касательного расслоения ${\displaystyle TM\to M}$ на тривиальное расслоение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times M\to M}$, сопоставляющий касательному вектору ${\displaystyle v\in TM}$ его координаты относительно репера ${\displaystyle e}$ и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее тривиальное касательное расслоение.

Примеры

• открытые подмногообразия евклидова пространства,
• все трёхмерные ориентируемые многообразия,
• произвольные группы Ли,
• многообразие реперов произвольного многообразия.
• Сферы ${\displaystyle S^{n}}$ являются параллелизуемыми только при ${\displaystyle n=1,3,7}$.

Свойства

• Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни.
• В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие ${\displaystyle M}$ было параллелизуемо.