Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Параллельные прямые

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Паралле́льные прямы́е (от др.-греч. παράλληλος буквально «идущий рядом; идущий вдоль другого») в планиметриинепересекающиеся прямые. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Thumb
Линейка для черчения параллельных прямых

Параллельность прямых и принято обозначать следующим образом:

Remove ads

В евклидовой геометрии

Суммиров вкратце
Перспектива
Thumb
На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1].

В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3]. Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].

Свойства

  • Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Замена пятого постулата контр-утверждением ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже) или к геометрии Римана (в зависимости от того, какое утверждение выбрано: можно провести больше одной прямой или ни одной).
  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
    • Соответственные углы — пара углов, расположенных в одной полуплоскости относительно секущей, вершина которых есть точки пересечения каждой из параллельных прямых с секущей, стороны углов лежат на соответствующей прямой и на секущей, причём только одна из них относительно «своей» прямой лежит по разные от этой прямой они равны (Рис.1).
    • Накрест лежащие углы — пара углов с вершинами в точках пересечения каждой из параллельных прямых с секущей и расположены по разные стороны от неё, причём стороны углов принадлежат параллельным прямым и секущей. Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
    • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
Thumb Thumb Thumb
Рис.1: Соответственные углы равны, . Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, . Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, .
  • Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  • Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямых

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

  1. Построение прямой , относительно которой нужно построить параллельную прямую.
  2. Построение прямой , перпендикулярной прямой (см. построение перпендикуляра).
  3. Построение прямой , перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой (аналогично построению прямой ).
Thumb

В стереометрии

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

Remove ads

В геометрии Лобачевского

Thumb
Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку вне данной прямой проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих . Прямая называется равнобежной прямой в направлении от к , если:

  1. точки и лежат по одну сторону от прямой ;
  2. прямая не пересекает прямую , но всякий луч, проходящий внутри угла , пересекает луч .

Аналогично определяется прямая, равнобежная в направлении от к .

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].

Свойства

  • Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
    • Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.
  • Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.
Remove ads

См. также

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads