Пирамидальная сортировка

Пирамидальная сортировка (англ. Heapsort, «Сортировка кучей»^[1]) — алгоритм сортировки, работающий в худшем, в среднем и в лучшем случае (то есть гарантированно) за ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций при сортировке ${\displaystyle n}$ элементов.^[2] Алгоритм работает «на месте» — количество задействованной служебной памяти ${\displaystyle O(1)}$, то есть фиксированное^[1].

Анимированная схема алгоритма

Может рассматриваться как усовершенствованная сортировка пузырьком, в которой элемент всплывает (min-heap) / тонет (max-heap) по многим путям.

Пирамидальная сортировка была предложена Дж. Уильямсом^[англ.] в 1963 году.^[1]

Алгоритм

Пример сортирующего дерева

структура хранения данных сортирующего дерева

Сортировка пирамидой использует бинарное сортирующее дерево. Сортирующее дерево — это такое дерево, у которого выполнены условия:

1. Каждый лист имеет глубину либо ${\displaystyle d}$, либо ${\displaystyle d-1}$, ${\displaystyle d}$ — максимальная глубина дерева.
2. Значение в любой вершине не меньше (другой вариант — не больше) значения её потомков.

Удобная структура данных для сортирующего дерева — такой массив ${\displaystyle a}$, что ${\displaystyle a[0]}$ - элемент в корне, а потомки элемента ${\displaystyle a[i]}$ являются ${\displaystyle a[2i+1]}$ и ${\displaystyle a[2i+2]}$.

Алгоритм сортировки будет состоять из двух основных шагов:

1. Выстраиваем элементы массива в виде сортирующего дерева^{[источник не указан 3199 дней]}:

${\displaystyle a[i]\geq a[2i+1]}$

${\displaystyle a[i]\geq a[2i+2]}$

при ${\displaystyle 0\leq i<n/2}$.

Этот шаг требует ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций.

2. Будем удалять элементы из корня по одному за раз и перестраивать дерево. То есть на первом шаге обмениваем ${\displaystyle a[0]}$ и ${\displaystyle a[n-1]}$, преобразовываем ${\displaystyle a[0],a[1],\ ...,a[n-2]}$ в сортирующее дерево. Затем переставляем ${\displaystyle a[0]}$ и ${\displaystyle a[n-2]}$, преобразовываем ${\displaystyle a[0],a[1],\ ...,a[n-3]}$ в сортирующее дерево. Процесс продолжается до тех пор, пока в сортирующем дереве не останется один элемент. Тогда ${\displaystyle a[0],a[1],\ ...,a[n-1]}$ - упорядоченная последовательность.

Этот шаг требует ${\displaystyle O(n\log n)}$ операций.

Достоинства и недостатки

Достоинства:

• Имеет доказанную оценку худшего случая ${\displaystyle O(n\log n)}$.
• Сортирует на месте, то есть требует всего ${\displaystyle O(1)}$ дополнительной памяти (если дерево организовывать так, как показано выше).

Недостатки:

• Неустойчив — для обеспечения устойчивости нужно расширять ключ.
• На почти отсортированных массивах работает столь же долго, как и на хаотических данных.
• На одном шаге выборку приходится делать хаотично по всей длине массива — поэтому алгоритм плохо сочетается с кэшированием и подкачкой памяти^[1].
• Методу требуется доступ к произвольному элементу структуры; не работает на связанных списках и других структурах памяти последовательного доступа.
• Не распараллеливается.

Сортировка слиянием при расходе памяти ${\displaystyle O(n)}$ быстрее (${\displaystyle O(n\log n)}$ с меньшей константой) и не подвержена деградации на неудачных данных.

Из-за сложности алгоритма выигрыш получается только на больших ${\displaystyle n}$. На небольших ${\displaystyle n}$ (до нескольких тысяч) быстрее сортировка Шелла.

Применение

Пирамидальная сортировка активно применяется в ядре Linux^[3].