Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: ${\displaystyle \Pi _{4}^{(4)}=1+4+9+16=30}$.

• Пятиугольное пирамидальное число^[англ.].
• Шестиугольное пирамидальное число^[англ.].
• Семиугольное пирамидальное число^[англ.].

Определение

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

${\displaystyle n}$-е по порядку ${\displaystyle k}$-угольное пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ есть сумма первых ${\displaystyle n}$ плоских фигурных чисел ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ с тем же числом углов ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}}$

Геометрически пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ можно представить как пирамиду из ${\displaystyle n}$ слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду^[1]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}}$

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)}$