Пи-исчисление

${\displaystyle \pi }$-исчисление в теоретической информатике  — исчисление процессов, изначально разработанное Робином Милнером, Иоахимом Пэрроу и Дэвидом Уокером как продолжение работы над исчислением общающихся систем. Целью ${\displaystyle \pi }$-исчисления является возможность описать параллельные вычисления, конфигурация которых может меняться на протяжении вычисления.

Неформальное определение

${\displaystyle \pi }$-исчисление принадлежит к семейству исчислений процессов. Фактически ${\displaystyle \pi }$-исчисление как λ-исчисление настолько минимально, что не содержит примитивов, таких как числа, булевы выражения, структуры данных, переменные, функции или операторы управления потоком (например, if-then-else, while).

${\displaystyle \pi }$-исчисление определяет динамически взаимодействующие друг с другом параллельные процессы. Каждый процесс может состоять из одного или нескольких действий, расположенных последовательно или параллельно, а также альтернативно или рекурсивно. Действием может быть отправка или получение данных по каналу. Сообщение от одного процесса другому включает имя канала, который может быть использован для ответа. Имя является переменной^[1].

Можно также сказать, что ${\displaystyle \pi }$-исчисление — это открытая теория, которая зависит от некоторой теории имен. Например, с операционной точки зрения π-исчислении можно представить как процедуру, которая для данной теории имен даёт теорию процессов над этими именами^[2].

Конструкции процесса

Центральным для ${\displaystyle \pi }$-исчисления является понятие имени. Простота исчисления заключается в двойной роли имён, которые выступают и как каналы связи и как переменные. В исчислении доступны следующие конструкции процесса (точные определения даны в следующих секциях):

• конкуренция, обозначается ${\displaystyle P\mid Q}$, где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — два процесса или потока, выполняемых конкурентно.
• связь, где
  • префикс ввода ${\displaystyle c\left(x\right).P}$ — процесс, ожидающий сообщение, отправленное по каналу связи ${\displaystyle c}$, перед тем как продолжаться как ${\displaystyle P}$, привязывающий полученное имя к имени ${\displaystyle x}$. Как правило, это моделирует процесс ожидания связи из сети, или метку c, которую можно использовать с помощью операции goto c.
  • префикс вывода ${\displaystyle {\overline {c}}\langle y\rangle .P}$ описывает, что имя ${\displaystyle y}$ передаётся через канал ${\displaystyle c}$, перед тем как продолжаться как ${\displaystyle P}$. Как правило, это моделирует отправку сообщения через сеть или операцию goto c.
• репликация, обозначается ${\displaystyle$ !\,P} , которая может быть рассмотрена как процесс, который может всегда создавать новую копию ${\displaystyle P}$. Как правило, эти модели или сетевой сервис или метка c, ожидающая любое число goto c операций.
• создание нового имени, обозначается ${\displaystyle \left(\nu x\right)P}$, которое может быть рассмотрено как процесс, размещающий новую константу ${\displaystyle x}$ внутри ${\displaystyle P}$. Константы ${\displaystyle \pi }$-исчисления определяются только через своё имя и всегда являются каналами связи.
• ноль процесс, обозначается 0, процесс, выполнение которого завершено и остановлено.

Минимализм ${\displaystyle \pi }$-исчисления не позволяет писать программы в обычном смысле этого слова, но исчисление можно легко расширить. В частности, просто определить структуры управления (такие как рекурсия, циклы и последовательная композиция) и типы данных (такие как функции первого порядка, значения истинности, списки и целые числа). Кроме того, были предложены расширения ${\displaystyle \pi }$-исчисления для криптографии с публичным ключом. Прикладное π-исчисление, разработанное Абади и Фурне, даёт этим различным расширениям π-исчисления формальную основу с помощью произвольных типов данных.

Небольшой пример

Ниже приведён пример процесса из трёх параллельных компонент. Канал ${\displaystyle x}$ известен только в двух первых компонентах.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}(\nu x)\;&(\;{\overline {x}}\langle z\rangle .\;0\\&|\;x(y).\;{\overline {y}}\langle x\rangle .\;x(y).\;0\;)\end{aligned}}\\|\;&z(v).\;{\overline {v}}\langle v\rangle .0\end{aligned}}}$

Первые две компоненты способны связываться через канал ${\displaystyle x}$, при этом ${\displaystyle y}$ связывается с ${\displaystyle z}$. Следующий шаг процесса:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}(\nu x)\;(\;&0\\|\;&{\overline {z}}\langle x\rangle .\;x(y).\;0\;)\end{aligned}}\\|\;&z(v).\;{\overline {v}}\langle v\rangle .\;0\end{aligned}}}$

В этом примере ${\displaystyle y}$ не затрагивается, так как он определён во внутренней области видимости. Теперь вторая и третья параллельные компоненты могут связаться через канал ${\displaystyle z}$, при этом ${\displaystyle v}$ связывается с ${\displaystyle x}$. Следующий шаг процесса:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nu x)(\;&0\\|\;&x(y).\;0\\|\;&{\overline {x}}\langle x\rangle .\;0\;)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, поскольку локальное имя ${\displaystyle x}$ было выведено, область действия ${\displaystyle x}$ расширена, чтобы охватить также третью компоненту. Наконец, канал ${\displaystyle x}$ можно использовать для отправки имени ${\displaystyle x}$. После чего все процессы останавливаются.

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nu x)(\;&0\\|\;&0\\|\;&0)\end{aligned}}}$

Формальное определение

Применение

${\displaystyle \pi }$-исчисление — один из наиболее популярных формализмов в сообществе управления бизнес-процессами (BPM). Например, популярная литература утверждает (и подвергается критике^[3][1]), что XLANG, WSCI, BPML, BPEL и WS-CDL основаны на этом исчислении. По крайней мере, свойства ${\displaystyle \pi }$-исчисления — порядок вычисления, связи на основе сообщений, мобильность (англ. mobility) — могут служить основой для языков BPM^[1].

Другим неожиданным направлением использования ${\displaystyle \pi }$-исчисления является моделирование биомолекулярных систем^[4].

Пример бизнес-процесса

Следующий пример может дать представление об описании бизнес-процесса при помощи пи-исчисления (перефразирован из ^[1]):

Клиент(заказ,клиент)=

заказ<клиент>.клиент(блюдо)

ОфициантПринимаетЗаказ(заказ,заказГотов,заказНеГотов,кухня)=

заказ(клиент).кухня<заказГотов,заказНеГотов>

.ОфициантПриноситЕду(заказГотов,заказНеГотов,клиент)

ОфициантПриноситЕду(заказГотов,заказНеГотов,клиент)=

заказГотов(блюдо).клиент<блюдо>

+ заказНеГотов(извинения).клиент<извинения>

Кухня(кухня,заказГотов,заказНеГотов)=

кухня(заказГотов,заказНеГотов).заказГотов<"борщ">

Ресторан=

(ν зкз,клнт,готов,неГотов,кух)

Клиент(зкз,клнт)

| ОфициантПринимаетЗаказ(зкз,готов,неГотов,кух)

| Кухня(кух,готов,неГотов)

Для данного примера исчисление было расширено оператором выбора (P + Q).