Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, ${\displaystyle A}$ плотно в ${\displaystyle X}$, если всякая окрестность любой точки ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$ содержит элемент из ${\displaystyle A}$.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ и два подмножества ${\displaystyle A,B\subset X.}$ Тогда множество ${\displaystyle A}$ называется плотным во множестве ${\displaystyle B}$, если любая окрестность любой точки ${\displaystyle B}$ содержит хотя бы одну точку из ${\displaystyle A}$, то есть

${\displaystyle \forall x\in B\quad \forall U\in {\mathcal {T}}\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A\neq \varnothing {\bigr )}.}$

• Множество ${\displaystyle A}$ называется всюду плотным, если оно плотно в ${\displaystyle X.}$

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество ${\displaystyle A}$ плотно в ${\displaystyle B}$ тогда и только тогда, когда замыкание ${\displaystyle A}$ содержит ${\displaystyle B}$, то есть ${\displaystyle {\bar {A}}\supset B}$. В частности, ${\displaystyle A}$ всюду плотно, если ${\displaystyle {\bar {A}}=X}$.
• Множество ${\displaystyle A}$ плотно в ${\displaystyle B}$ тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к ${\displaystyle A}$ не пересекается с ${\displaystyle B}$, то есть ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\varnothing }$. В частности, ${\displaystyle A}$ всюду плотно, если ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{0}=\varnothing }$.

Примеры

• Множество рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ плотно в пространстве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

См. также

• Нигде не плотное множество
• Сепарабельное пространство

Литература

• Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология Архивная копия от 19 февраля 2012 на Wayback Machine. Учебник в задачах (рус., англ.)