Поверхность Эннепера

Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности.

кусок поверхности Эннепера

Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.

Уравнения

• Поверхность Эннепера может быть описана параметрически как

  ${\displaystyle x=u(1-u^{2}/3+v^{2})/3,}$

  ${\displaystyle y=-v(1-v^{2}/3+u^{2})/3,}$

  ${\displaystyle z=(u^{2}-v^{2})/3.}$

• Параметризация Вейерштрасса — Эннепера задаётся ${\displaystyle f(z)=1}$ и ${\displaystyle g(z)=z}$.

• Является множеством нулей многочлена степени 9:

${\displaystyle 64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})+}$

${\displaystyle {}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})-}$

${\displaystyle {}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.}$

Свойства

• Касательная плоскость в точке с заданными параметрами ${\displaystyle (u,v)}$ в форме ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0}$:

  ${\displaystyle a=-(u^{2}-v^{2})(1+u^{2}/3+v^{2}/3),}$

  ${\displaystyle b=6u,}$

  ${\displaystyle c=6v,}$

  ${\displaystyle d=-3(1-u^{2}-v^{2}).}$

  • Коэффициенты удовлетворяют уравнению 6-й степени

    ${\displaystyle 162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})+}$

    ${\displaystyle {}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.}$

• Якобиан ${\displaystyle J}$, гауссова кривизна ${\displaystyle K}$ и средняя кривизна ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle J=(1+u^{2}+v^{2})^{4}/81,}$

${\displaystyle K=-(4/9)/J,}$

${\displaystyle H=0.}$

• Полная кривизна равна ${\displaystyle -4\pi }$.
  • Полная минимальная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с полной кривизной ${\displaystyle -4\pi }$ является либо катеноидом, либо поверхностью Эннепера.

Вариации и обобщения

Допускает обобщение с симметриями вращения более высокого порядка с помощью параметризации Вейерштрасса — Эннепера ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$ для целого числа ${\displaystyle k>1}$.

Внешние ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Enneper surface, Encyclopedia of Mathematics (англ.), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Enneper's Surface
• The Generalized Enneper's Surfaces // The Scientific Graphics Project