Подпространство Крылова

В линейной алгебре подпростра́нством Крыло́ва размерности ${\displaystyle m}$, порождённым вектором ${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}$ и матрицей ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, называется линейное пространство

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span} \{v,Av,A^{2}v,...,A^{m-1}v\}.}$

Где span{...} означает линейную оболочку. Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.}$

Такие пространства были названы в честь русского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.

Размерность подпространства Крылова

В силу конечномерности пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ найдётся такое ${\displaystyle p\;(0\leq p\leq n),}$ что векторы ${\displaystyle v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v}$ линейно-независимы, а ${\displaystyle A^{p}v}$ есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами ${\displaystyle \gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:}$

${\displaystyle A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p}v}$

Составим полином ${\displaystyle \varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{p-1}+\gamma _{2}\lambda ^{p-2}+...+\gamma _{p}}$ и получим:

${\displaystyle \varphi (A)v=0.}$

Полином ${\displaystyle \varphi (A)}$ степени ${\displaystyle p}$ является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.

Свойства подпространства Крылова

1. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{p}}$ инвариантно относительно ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}}$ для любого ${\displaystyle m\geq p.}$

2. ${\displaystyle dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.}$

Методы Крыловского типа

Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.

Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatorname {span} \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},}$

где

${\displaystyle v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{m-1}}$.

Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.

См. также

• Метод Крылова для нахождения характеристического многочлена матрицы.
• Проекционные методы решения СЛАУ
• Биортогонализация Ланцоша
• Iterative Template Library

Литература

• Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем.. — 1931. — С. 26.
• Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — 2nd edition. — SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. — С. 477. — ISBN 0898715342.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2е издание. — М.: Наука, 1966. — С. 576. — ISBN 5-9221-0524-8.
• Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — С. 70.