Подстановки Эйлера

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx}$, где ${\displaystyle R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})}$ — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году^[1][2].

Подстановки

Первая подстановка

Используется тогда, когда ${\displaystyle a>0}$ . Производится замена:
${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t\pm {\sqrt {a}}x}$

Вторая подстановка

Используется тогда, когда ${\displaystyle c>0}$ . Производится замена:
${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm xt\pm {\sqrt {c}}}$

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t(x-\lambda )}$ , где ${\displaystyle \lambda }$ — один из корней^[1].

Интересные факты

По воспоминаниям ученика Ландау А. И. Ахиезера, тот крайне негативно относился к использованию данных подстановок:

<…> он [Ландау] предложил мне вычислить <…> интеграл от рациональной дроби. <…> я вычислил, не используя стандартных подстановок Эйлера, и это меня спасло, ибо, как я понял впоследствии, Ландау не терпел их и считал, что каждый раз нужно использовать какой-нибудь искусственный прием, что собственно, я и сделал.

— Воспоминания о Л. Д. Ландау^[3]