Многочлен Бернштейна

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна^[1][2].

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики полиномы Бернштейна на промежутке x ∈ [0, 1] стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

${\displaystyle b_{k,n}(x)={\binom {n}{k}}x^{k}(1-x)^{n-k},\qquad k=0,\ldots ,n.}$

где ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства ${\displaystyle \Pi _{n}}$ многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

${\displaystyle B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)b_{k,n}(x)}$

называется многочленом Бернштейна или точнее многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты ${\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)}$ называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

${\displaystyle b_{0,0}(x)=1}$

${\displaystyle b_{0,1}(x)=1-x}$

${\displaystyle b_{1,1}(x)=x}$

${\displaystyle b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}}$

${\displaystyle b_{1,2}(x)=2x(1-x)}$

${\displaystyle b_{2,2}(x)=x^{2}\ .}$

Свойства

Дифференцирование

${\displaystyle b'_{k,n}(x)=n\,b_{k,n-1}(x)+n\,b_{k-1,n-1}(x)}$

${\displaystyle b_{k,n}^{(l)}(x)={\frac {n!}{(n-l)!}}\sum _{j=0}^{l}{\binom {l}{j}}b_{k-j,n-l}(x)}$

Леммы о моментах

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=1}$ для любых n и x, так как ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)=(x+1-x)^{n}=1^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)=0}$ для любых n и x

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}b_{k,n}(x)(x-k/n)^{2}=x(1-x)/n}$ для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций

См. также

• Кривая Безье
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Формулы Ньютона
• Многочлен Лагранжа