Унивалентный функтор

Унивалентный функтор (строгий функтор) — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.

Соответственно, функтор ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {D}}}$ между локально малыми категориями ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$:

• унивалентнен, если функция ${\displaystyle F_{X,Y}}$ инъективна,
• полон, если ${\displaystyle F_{X,Y}}$ сюръективна,
• вполне унивалентен, если ${\displaystyle F_{X,Y}}$ биективна

для каждой пары ${\displaystyle X,Y}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$ — срез функтора на морфизмы ${\displaystyle X\to Y}$).

Унивалентный функтор не обязательно инъективен на объектах категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, поэтому образ вполне унивалентного функтора не обязан быть категорией, изоморфной ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне унивалентный функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {D}}}$ является вполне унивалентным и ${\displaystyle F(x)\cong F(y)}$, то ${\displaystyle x\cong y}$ (в этом случае говорят, что функтор ${\displaystyle F}$ отражает изоморфизмы).

Любой унивалентный функтор отражает мономорфизмы и эпиморфизмы. Из этого следует, что любой унивалентный функтор из сбалансированной категории отражает изоморфизмы.

Пример унивалентного функтора — забывающий функтор для категории групп ${\displaystyle U\colon \mathbf {Grp} \longrightarrow \mathbf {Set} }$: гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. (Категория с унивалентным функтором в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ называется конкретной категорией.) Функтор, вкладывающий категорию абелевых групп ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ в категорию групп ${\displaystyle \mathbf {Grp} }$, вполне унивалентный.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.