Полярный момент инерции

Не следует путать с Момент инерции.

Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей, элементарных площадок dA на квадрат их расстояния от полюса — ρ², взятого по всей площади сечения. То есть:

${\displaystyle J_{p0}=\int _{A}\rho ^{2}\,dA}$

Схема к вычислению полярного момента инерции

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м⁴, см⁴) и может быть лишь положительной.

Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:

${\displaystyle J_{p0}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\phi ={\frac {\pi r^{4}}{2}}={\frac {\pi (D/2)^{4}}{2}}={\frac {\pi D^{4}}{32}}.}$

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то:

${\displaystyle J_{p0}=J_{x}+J_{y}}$

потому что ${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Применение

Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:

${\displaystyle \tau ={\frac {Tr}{J_{p0}}}}$

где

${\displaystyle T}$ — крутящий момент,

${\displaystyle r}$ — расстояние от оси кручения

${\displaystyle {J_{p0}}}$ — полярный момент инерции.

Полярный момент инерции для некоторых случаев

Распределение касательных напряжений при кручении

Для круглого сплошного сечения:

${\displaystyle J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}}$

где ${\displaystyle D}$ — диаметр круга.

Для кольцевого сечения (полый вал):

${\displaystyle J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}\left(1-{\frac {d^{4}}{D^{4}}}\right),}$

где ${\displaystyle D}$ — внешний диаметр кольца,

${\displaystyle d}$ — внутренний диаметр кольца.

См. также

• Полярный момент сопротивления
• Момент инерции

Литература

• Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Изд. 10-е, перераб. и доп. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999 год. Рецензенты академик РАН Образцов И. Ф. и д. т. н профессор Чирков И. П.