Попарная независимость

В теории вероятностей, попарно независимый набор случайных величин — это множество случайных величин, любая пара которых независима^[1]. Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Попарно независимые случайные величины с конечной дисперсией не являются коррелированными.

На практике, если это не выводится из контекста, считается, что независимость означает независимость в совокупности. Таким образом, предложение вида «${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ являются независимыми случайными величинами» означает, что ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ являются независимыми в совокупности.

Пример

Независимость в совокупности не следует из попарной независимости, как показано в следующем примере, приписываемом С. Н. Бернштейну^[2]

Пусть случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ обозначают два независимых подбрасывания монетки. Положим 1 обозначает выпадение орла, 0 — решки. Пусть ${\displaystyle Z}$ — случайная величина, равная 1, если в результате ровно одного из двух подбрасываний монетки выпал орёл, и 0 в противном случае. Тогда тройка ${\displaystyle (X,\;Y,\;Z)}$ имеет следующее вероятностное распределение:

${\displaystyle (X,Y,Z)=}$	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right.}$	${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$ с вероятностью 1/4,
		${\displaystyle (0,\;1,\;1)}$ с вероятностью 1/4,
		${\displaystyle (1,\;0,\;1)}$ с вероятностью 1/4,
		${\displaystyle (1,\;1,\;0)}$ с вероятностью 1/4.

Заметим, что распределения каждой случайной величины по отдельности равны: ${\displaystyle f_{X}(0)=f_{Y}(0)=f_{Z}(0)=1/2}$ и ${\displaystyle f_{X}(1)=f_{Y}(1)=f_{Z}(1)=1/2}$. Распределения любых пар этих величин также равны: ${\displaystyle f_{X,\;Y}=f_{X,\;Z}=f_{Y,\;Z}}$, где ${\displaystyle f_{X,\;Y}(0,\;0)=f_{X,\;Y}(0,\;1)=f_{X,\;Y}(1,\;0)=f_{X,\;Y}(1,\;1)=1/4.}$

Поскольку каждое из попарных совместных распределений равно произведению соответствующих им маргинальных распределений, случайные величины являются попарно независимыми:

• ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ независимы,
• ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Z}$ независимы,
• ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ независимы.

Несмотря на это, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ не являются независимыми в совокупности, поскольку ${\displaystyle f_{X,\;Y,\;Z}(x,\;y,\;z)\neq f_{X}(x)f_{Y}(y)f_{Z}(z)}$. Для ${\displaystyle (X,\;Y,\;Z)=(0,\;0,\;0)}$ левая часть равна 1/4, а правая — 1/8. При этом любая из трёх случайных величин ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ однозначно определяется двумя другими и равняется их сумме, взятой по модулю 2.

Обобщение

В общем случае для любого ${\displaystyle n\geqslant 2}$ можно говорить о ${\displaystyle n}$-арной независимости. Идея схожа: набор случайных величин является ${\displaystyle n}$-арно независимым, если любое его подмножество мощности ${\displaystyle n}$ является независимым в совокупности. ${\displaystyle n}$-арная независимость использовалась в теоретической информатике для доказательства теоремы о задаче MAXEkSAT.

См. также

• Попарно
• Попарно дизъюнктивные семейства множеств