Популяционная модель

Популяционная модель — математическая модель, применяемая для изучения динамики численности популяции.

Обоснование

Модели позволяют лучше понять, как протекают процессы со сложными взаимодействиями. Моделирование динамических взаимодействий в природе может обеспечить управляемый способ понимания того, как числа меняются со временем или по отношению друг к другу. Многие закономерности можно заметить, используя моделирование популяции^[1].

При экологическом моделировании популяции определяют динамику изменения размер популяции (численности особей) и распределение их по возрастам. Это может зависеть от взаимодействия с окружающей средой, особями того же и других видов^[2].

Популяционные модели используют агрономы для определения максимального урожая, для понимания динамики биологических инвазий и для охраны окружающей среды. Популяционные модели также используются для понимания распространения паразитов, вирусов и болезней^[2].

Еще один способ использования моделей популяций — это оценка находится ли биологический вид на грани опасности исчезновения. Модели популяции могут отслеживать исчезающие виды и предлагать меры сдерживания сокращения их численности Архивная копия от 28 июля 2018 на Wayback Machine.

История

В конце XVIII века биологи начали разрабатывать методы моделирования популяций, чтобы понять динамику роста и сокращения всех популяций живых организмов. Томас Мальтус одним из первых заметил, что население росло в геометрической прогрессии^[3], хотя неявно это было сделано уже Фибоначчи. Одной из основных моделей роста населения была логистическая модель роста населения, сформулированная Пьером Франсуа Ферхульстом в 1838 году. Логистическая модель принимает форму сигмовидной кривой и описывает рост населения как экспоненциальный с замедлением роста из-за давления окружающей среды^[1].

Моделирование популяций стало особенно интересным для биологов в XX веке, после того как биолог Рэймонд Перл, заметил влияние ограниченных средств к существованию на увеличение численности населения в некоторых частях Европы. В 1921 году Перл пригласил физика Альфреда Лотку помочь ему в его лаборатории. Лотка разработал парные дифференциальные уравнения, которые показали влияние хищника на его добычу. Математик Вито Вольтерра предложил уравнения описывающие взаимоотношения между двумя видами (хищник и добыча) независимо от Лотки. Вместе Лотка и Вольтерра сформулировали модель конкуренции Лотки — Вольтерры, которая применяет логистическое уравнение к двум видам, и иллюстрирует взаимодействие в системе двух видов хищник-добыча^[3]. В 1939 году Патрик Лесли внёс вклад в моделирование популяций, когда он начал работать в области биоматематики. Лесли подчеркнул важность составления таблицы жизни, чтобы понять влияние ключевых стратегий жизненной истории на динамику населения в целом. Лесли применил матричную алгебру в сочетании с таблицами жизни, чтобы расширить работу Лотки^[4]. Матричные модели популяции рассчитывают рост численности с переменными истории жизни. Позднее Роберт Макартур и Э.О. Уилсон создали островную биогеографию. Равновесная модель островной биогеографии описывает количество видов на острове как равновесие иммиграции и вымирания. Логистическая популяционная модель, модель экологии сообщества Лотки – Вольтерры, моделирование матрицы жизненных таблиц, равновесная модель островной биогеографии и её вариации являются основой современного экологического моделирования популяций^[5].

Уравнения

Уравнение логистического роста :

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)\,}$

Уравнение Лотки — Вольтерры:

${\displaystyle {\frac {dN_{1}}{dt}}=r_{1}N_{1}{\frac {K_{1}-N_{1}-\alpha N_{2}}{K_{1}}}\,}$

Островная биогеография :

${\displaystyle S={\frac {IP}{I+E}}}$

Видовые отношения :

${\displaystyle \log(S)=\log(c)+z\log(A)\,}$

Примеры индивидуальных моделей

Логическая детерминированная индивидуально-клеточная модель автоматов экосистемы с одним видом. Модель демонстрирует механизм S-образного роста населения.

Логическая детерминированная индивидуальная модель клеточных автоматов межвидовой конкуренции за единый ограниченный ресурс. Механизм конкурентного исключения одного вида другим.

• Ва-Тор (Wa-Tor)

См. также

• Динамика населения
• Популяционная динамика рыболовства
• Экология населения
• Момент закрытия