Порядок роста

Определение

Порядком роста функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ называется некоторое число ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ такое, что для некоторой окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ существует такое число ${\displaystyle M>0}$, что для произвольной точки ${\displaystyle z\in {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {M}{|z-z_{0}|^{\alpha }}}}$

Замечание

Легко можно показать, что ${\displaystyle f}$ ограничена в некоторой окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ тогда и только тогда, когда её порядок роста в точке ${\displaystyle z_{0}}$ равен нулю.

Понятие порядка роста крайне важно в одном из разделов комплексного анализа — теории целых функций.