Правильный 5-симплекс

Правильный 5-симплекс, или правильный гексатерон, или просто гексатерон^[1] — пятимерное геометрическое тело, правильный политоп, ограниченный шестью гранями-пятиячейниками. Представляет собой пятимерный вариант правильного симплекса.

Гексатерон (правильный 5-симплекс)
Тип	Правильный пятимерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,3,3}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
4-мерных ячеек	6
Ячеек	15
Граней	20
Рёбер	15
Вершин	6
Вершинная фигура	5-ячейник
Двойственный политоп	Он же

Состоит из 6 4-мерных граней-пятиячейников, 15 правильнотетраэдрических ячеек, 20 граней — правильных треугольников, 15 рёбер и 6 вершин. Одна из множества проекций правильного 5-симплекса на плоскость — шестиугольник с вписанной в него гексаграммой. Двугранный угол гексатерона равен arccos(0,2), то есть примерно 78,46°.

В прямоугольной системе координат

Гексатерон может быть получен из пятиячейника путём добавления шестой вершины, равноудалённой от всех других вершин исходного пятиячейника. Гексатерон можно разместить в Декартовой системе координат следующим образом (длина ребра тела равна 2):

${\displaystyle \left({\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$