Преобразование Гаусса

Эта статья об отображении единичного отрезка в себя; об отображении поверхности в сферу см. Отображение Гаусса.

В математике, преобразование Гаусса или отображение Гаусса — (измеримая) динамическая система на отрезке [0, 1], заданная отображением

${\displaystyle T\colon x\mapsto \{1/x\},}$

где ${\displaystyle \{\cdot \}}$ обозначает дробную часть числа^[1]. Исследованная в конце XVIII — начале XIX века Гауссом, это одна из первых одномерных динамических систем.

Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь:

${\displaystyle T([0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ])=[0;a_{2},a_{3},\dots ].}$

Кроме того, оно обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега:

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\ln 2}}\cdot {\frac {dx}{1+x}},\quad T_{*}\mu =\mu .}$

Применение к этой мере эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина влечёт существование постоянной Хинчина и утверждение о распределении элементов цепной дроби случайного числа ${\displaystyle x\in [0,1]}$ — статистика Гаусса — Кузьмина.