Преобразование Лагерра

Преобразование Лагерра — интегральное преобразование, связывающее функцию ${\displaystyle T(n)}$ целого переменного (изображение) с функцией ${\displaystyle f(t)}$ вещественного переменного (оригинал).

Определение

Преобразованием Лагерра функции вещественной переменной ${\displaystyle f(t)}$ называется функция ${\displaystyle T(n)}$ целого переменного ${\displaystyle n}$ такая что:

${\displaystyle T(n)={\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}L_{n}(t)f(t)\,dt.}$

где ${\displaystyle L_{n}(t)}$ - многочлены Лагерра ${\displaystyle n}$ - го порядка.

Применение

Применяется для решения дифференциального уравнения Лагерра

${\displaystyle Lx+nx=0}$

где ${\displaystyle Lx(t)=tx''(t)+(1-t)x'(t)}$. Применение преобразования Лагерра сводит дифференциальную операцию ${\displaystyle Lx}$ к алгебраической по формуле

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{L\left[x(t)\right]\right\}=-nx^{*}(n)}$.

Библиография

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.