Преобразование Чирнгауза

Преобразование Чирнгауза^[1] (или Чирнгаузена^[2]) — преобразование, переводящее многочлен ${\displaystyle P(x)}$ с корнями ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ в многочлен ${\displaystyle Q(x)}$ с корнями ${\displaystyle \varphi (x_{1}),\dots ,\varphi (x_{n})}$, где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — также многочлен. Коэффициенты ${\displaystyle Q}$ могут быть выражены через коэффициенты ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle \varphi }$, что может быть использовано для решения уравнений третьей и четвёртой степени и упрощения общего вида уравнений более высоких степеней.^[1]

Преобразование кубического уравнения

Путем замены ${\displaystyle y=x+{\frac {b}{3a}}}$ преобразуем уравнение ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ в приведенное, не полное: ${\displaystyle y^{3}+py+q}$ где:

${\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}};q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}$

Пусть ${\displaystyle \gamma =y^{2}+\alpha y+\beta }$, тогда: ${\displaystyle y^{3}=\gamma y-\alpha y^{2}-\beta y;-\alpha y^{2}=\alpha ^{2}y+\beta \alpha -\gamma \alpha }$

Подставляя все в исходное уравнение получаем: ${\displaystyle y={\frac {\alpha \gamma -\alpha \beta -q}{\gamma +\alpha ^{2}+p-\beta }}}$

Так же из уравнения ${\displaystyle \gamma =y^{2}+\alpha y+\beta }$ получаем, что ${\displaystyle {\frac {\gamma -\beta }{y}}=y+\alpha }$

Подставляя получаем: ${\displaystyle {\frac {(\gamma -\beta )(\gamma +\alpha ^{2}+p-\beta )}{\alpha \gamma -\alpha \beta -q}}={\frac {\alpha \gamma -\alpha \beta -q}{\gamma +\alpha ^{2}+p-\beta }}+\alpha }$

Преобразуя получим: ${\displaystyle \gamma ^{3}+(2p-3\beta )\gamma ^{2}+(\alpha ^{2}p+p^{2}+3\beta ^{2}+3\alpha q-4\beta p)\gamma +(2\beta ^{2}p+\alpha ^{3}q+\alpha pq-\beta ^{3}-q^{2}-\beta p^{2}-\alpha ^{2}\beta p-3\alpha \beta q)=0}$

Пусть ${\displaystyle 2p-3\beta =0}$ и ${\displaystyle \alpha ^{2}p+p^{2}+3\beta ^{2}+3\alpha q-4\beta p=0}$ , тогда:

${\displaystyle \alpha ={\frac {-3q\pm 9{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}{2p}}}$

${\displaystyle \beta ={\frac {2}{3}}p,}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt[{3}]{\beta ^{3}+q^{2}+\beta p^{2}+\alpha ^{2}\beta p+3\alpha \beta q-2\beta ^{2}p-\alpha ^{3}q-\alpha pq}}}$

Так как ${\displaystyle \gamma =y^{2}+\alpha y+\beta }$, то: ${\displaystyle y^{2}+\alpha y+\beta -\gamma =0}$

${\displaystyle y={\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4\beta +4\gamma }}}{2}}}$