Признак Дюбуа-Реймона

Признак Дюбуа-Реймона — признак сходимости числовых рядов вида ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ (в общем случае ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ — комплексные). Установлен Полем (Паулем) Дюбуа-Реймоном.

Формулировка

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},\;b_{n}\in \mathbb {C} )}$ сходится, если:

• ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ — сходится;
• ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a_{n+1})}$ — абсолютно сходится.

Для несобственных интегралов

Произведение ${\displaystyle f(x)g(x)}$ (${\displaystyle f,\;g\colon I\to \mathbb {R} }$) интегрируемо на ${\displaystyle I}$, если:

• ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,\;c]\ \forall c\geqslant a}$ и ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(s)\,ds}$ ограничен на ${\displaystyle I}$;
• ${\displaystyle g(x)}$ дифференцируема на ${\displaystyle [a,\;\infty )}$ и ${\displaystyle g'(x)}$ абсолютно интегрируема на ${\displaystyle I}$;
• существует предел ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)g(x)}$.

Литература

• И. М. Виноградов. Дюбуа-реймона признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — Т. 2.
• Bartle R. G. A modern theory of integration