Признак Лобачевского

Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (a_{n})}$ есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

сходится или расходится одновременно с рядом

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{2^{m}}}}$

где ${\displaystyle N_{m}}$ — наименьшее целое, такое что ${\displaystyle a_{N_{m}}\leq {\frac {1}{2^{m}}}}$.

Примеры

• Для гармонического ряда ${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}}$ имеем ${\displaystyle N_{m}=2^{m}}$, таким образом ${\displaystyle {\frac {N_{m}}{2^{m}}}=1}$ и значит второй ряд расходится. Согласно признаку Лобачевского расходится и первый.

Литература

• Лобачевского признак — статья из Математической энциклопедии