Признак Раабе

Признак Раабе (признак Раабе — Дюамеля) — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe)^[1] и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем^[2].

Формулировка

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, если при достаточно больших ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство

${\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,}$

где ${\displaystyle r>1}$.

Eсли ${\displaystyle R_{n}\leqslant 1}$, начиная с некоторого ${\displaystyle n}$, то ряд ${\displaystyle a_{n}}$ расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }R_{n}}$

то при ${\displaystyle R>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle R<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle R=1}$, то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении признака сравнения отношений при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

Пример

Для ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}}$ признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

См. также

• Признак сходимости д’Аламбера — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.