Признак совпадения пределов

Признак совпадения пределов. Если существуют двойной предел и при каждом ${\displaystyle n}$ предел ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }s_{n,m}}$, то повторный предел существует и совпадает с двойным:

${\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }s_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }s_{n,m}.\qquad (*)}$

Доказательство

Если ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ то для достаточно больших ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ выполняется ${\displaystyle s-\,\varepsilon \leqslant s_{n}}$_{${\displaystyle m}$}${\displaystyle \leqslant s+\varepsilon .}$ Перейдём в этом неравенстве к пределу при ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ и получим ${\displaystyle s-\,\varepsilon \leqslant \lim _{m\to \infty }s_{n}}$_{${\displaystyle m}$}${\displaystyle \leqslant s+\varepsilon .}$ Откуда и следует ${\displaystyle (*).}$

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.