Принцип симметрии Шварца

Формулировка

Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} .}$ Далее, пусть множество ${\displaystyle D=\partial \Omega \cap \mathbb {R} }$ непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения.

Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции ${\displaystyle f}$ с множества ${\displaystyle \Omega }$ на большее множество ${\displaystyle \Omega \cup {\overline {\Omega }}}$, где ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\{z:{\overline {z}}\in \Omega \}}$, с помощью следующей функции:

${\displaystyle F(z)=f(z)}$ при ${\displaystyle z\in \Omega }$

${\displaystyle F(z)={\overline {f({\overline {z}})}}}$ при ${\displaystyle z\in {\overline {\Omega }}}$

Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием.

Обобщение

Допустим, что заданы области ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {C} }$, далее, ${\displaystyle \gamma _{1}\subset \partial \Omega _{1},\gamma _{2}\subset \partial \Omega _{2}}$ — дуги обобщенных окружностей. Обозначим через ${\displaystyle \Omega _{1}^{*}}$ область, которая симметрична ${\displaystyle \Omega _{1}}$ относительно ${\displaystyle \gamma _{1}}$, аналогично определяется ${\displaystyle \Omega _{2}^{*}}$. Теперь, если ${\displaystyle f}$ конформно отображает ${\displaystyle \Omega _{1}}$ на ${\displaystyle \Omega _{2}}$, притом ${\displaystyle f(\gamma _{1})=\gamma _{2}}$, тогда ${\displaystyle f}$ может быть аналитически продолжена до конформного отображения ${\displaystyle \Omega _{1}\cup \gamma _{1}\cup \Omega _{1}^{*}}$ на ${\displaystyle \Omega _{2}\cup \gamma _{2}\cup \Omega _{2}^{*}}$.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.