Проблема слов

Проблема слов (англ. word problem) — фундаментальная задача в математике и теоретической информатике, состоящая в выяснении равенства двух выражений (слов) в рамках некоторой формальной системы. Эта проблема возникает в различных областях, включая теорию групп, полугрупп, формальные грамматики и теорию алгоритмов.

Формулировка проблемы

Пусть дана алгебраическая структура (например, группа, моноид или полугруппа), заданная конечным набором образующих и соотношений. Проблема слов для этой структуры заключается в следующем:

Существует ли алгоритм, который для любых двух слов (выражений), составленных из образующих (и обратных к ним --- в случае групп), определяет, представляют ли они один и тот же элемент структуры (то есть можно ли преобразовать одно слово в другое, применяя заданные соотношения)?

Если такой алгоритм существует, проблема слов называется разрешимой, в противном случае — неразрешимой.

Исторический контекст

Проблема слов была впервые сформулирована в начале XX века в работах математиков, изучающих алгебраические структуры. Важные результаты:

• 1911: Макс Ден (Max Dehn) сформулировал проблему слов для групп.
• 1947: Эмиль Пост (Emil Post) и Андрей Марков (Андрей Марков-младший) независимо доказали, что проблема слов для полугрупп в общем случае неразрешима.
• 1955: Пётр Новиков и Уильям Бун доказали, что существует группа с конечным числом образующих и соотношений, для которой проблема слов неразрешима.

Примеры

1. Свободные моноиды

В свободном моноиде (где нет нетривиальных соотношений) проблема слов тривиальна: два слова представляют один и тот же элемент тогда и только тогда, когда они буквально совпадают.

2. Группы с разрешимой проблемой слов

• Свободные группы: проблема слов разрешима, так как можно любое слово алгоритмически свести к приведенному.
• Конечные группы: проблема слов разрешима, так как можно построить таблицу Кэли.
• Абелевы группы: проблема слов разрешима благодаря приведению к нормальной форме.
• Гиперболические группы (по Дену): проблема слов разрешима за линейное время.

3. Полугруппы и неразрешимые случаи

Известны конкретные примеры полугрупп с неразрешимой проблемой слов. Например, полугруппа, ассоциированная с машиной Тьюринга, может иметь неразрешимую проблему слов.

Связь с теорией алгоритмов и информатикой

Проблема слов тесно связана с вопросами алгоритмической разрешимости в теории вычислимости. Её неразрешимость в общем случае аналогична неразрешимости проблемы остановки для машин Тьюринга.

Приложения

• Теория групп и алгебраическая топология (изучение фундаментальных групп).
• Теория формальных языков (проблема эквивалентности грамматик).
• Криптография (алгоритмы на основе групповых слов).

Литература

1. Rotman, J. J. An Introduction to the Theory of Groups.
2. Lyndon, R. C., Schupp, P. E. Combinatorial Group Theory.
3. Adian, S. I. The Problem of Identities in Group Theory.

См. также

• Проблема тождества слов
• Теорема Райса
• Машина Тьюринга