Произведение Громова

Произведение Громова оценивает расстояние, на котором две геодезические из одной точки начинают существенно расходиться. Используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Названо в честь Михаила Леонидовича Громова.

Определение

Пусть ${\displaystyle p}$ — отмеченная точка метрического пространства ${\displaystyle (X,d)}$. Тогда, произведением Громова (с центром в ${\displaystyle x}$) точек ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ этого пространства называется величина

${\displaystyle (y,z)_{p}:={\tfrac {1}{2}}\cdot (d(p,y)+d(p,z)-d(y,z)).}$

Свойства

• Произведение Громова неотрицательно и симметрично: ${\displaystyle \forall p,y,z\in X\quad (y,z)_{p}=(z,y)_{p},\quad (y,z)_{p}\geq 0.}$
• Для случая дерева, ${\displaystyle (y,z)_{p}}$ есть длина совпадающей части кратчайших ${\displaystyle [py]}$ и ${\displaystyle [pz]}$.
• Для дерева выполняется неравенство.

  ${\displaystyle (x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}};}$

иначе говоря, наименьшие две величины из ${\displaystyle (x,z)_{p}}$, ${\displaystyle (x,y)_{p}}$ и ${\displaystyle (y,z)_{p}}$ совпадают.

• Для ${\displaystyle \delta }$-гиперболических пространств выполняется неравенство.

  ${\displaystyle (x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}$

Литература

• Э. Жис, П. Де ля Арп. Гиперболические группы по Михаилу Громову. — М.: Мир, 1992.