Производная Римана

Производная Римана^[1], производная Шварца или вторая симметрическая производная, функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ — предел

${\displaystyle D^{2}f=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}.}$

Введена Риманом в 1854, производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана.

Связанные определения

Верхний и нижний пределы

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}}$

при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ называются соответственно верхней ${\displaystyle {\bar {D}}^{2}f(x_{0})}$ и нижней ${\displaystyle {\underline {D}}_{2}f(x_{0})}$ производной Римана.

Свойства

• Если в точке ${\displaystyle x_{0}}$ существует 2-я производная ${\displaystyle f''(x_{0}}$), то существует производная Римана и ${\displaystyle D^{2}f(x_{0})=f''(x_{0})}$.
  • Обратное неверно.