Производная обратной функции

Пусть ${\displaystyle y=f(x)}$ — функция от аргумента ${\displaystyle x}$ в некотором интервале ${\displaystyle (a,b)}$. Если в уравнении ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y}$ считать аргументом, а ${\displaystyle x}$ — функцией, то возникает новая функция ${\displaystyle x=\phi (y),}$ где ${\displaystyle f[\phi (y)]\equiv y,}$ — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции ${\displaystyle y(x)}$ с производной ${\displaystyle y'_{x}(x)}$, отличной от нуля, производная ${\displaystyle x'_{y}(y)}$ обратной функции ${\displaystyle x(y)}$ равна обратной величине производной данной функции в точке ${\displaystyle x(y)}$, то есть

${\displaystyle x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}}$^[1]

Доказательство

Пусть ${\displaystyle y=f(x)}$ — дифференцируемая функция, ${\displaystyle y'_{x}=f'(x)\neq 0}$.
Пусть ${\displaystyle \Delta y\neq 0}$ — приращение независимой переменной ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle \Delta x}$ — соответствующее приращение обратной функции ${\displaystyle x=\phi (y)}$.

Напишем тождество

${\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Переходя в этом равенстве к пределу при ${\displaystyle \Delta y\to 0}$, которое влечет за собой стремление ${\displaystyle \Delta x}$ к нулю (${\displaystyle \Delta x\to 0}$), получим:

${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow x'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}}$, где ${\displaystyle x'_{y}}$ — производная обратной функции.

Замечание

Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}$

Примеры

• ${\displaystyle y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

• ${\displaystyle y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},}$

${\displaystyle y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.}$

См. также

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная