Окрестность

Термин «окрестность» имеет также другие значения.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

На плоскости подмножество ${\displaystyle V}$ является окрестностью точки ${\displaystyle p}$, если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в ${\displaystyle V}$.

Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

Определения

Математический анализ

Основная статья: ε-окрестность

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ на числовой прямой (иногда говорят ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью) называется множество точек, удаленных от ${\displaystyle x_{0}}$ менее чем на ${\displaystyle \varepsilon }$, то есть ${\displaystyle O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}}$.

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый ${\displaystyle \varepsilon }$-шар с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

В банаховом пространстве ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}}$.

В метрическом пространстве ${\displaystyle (M,\rho )}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle y}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in M:\rho (x,y)<\varepsilon \}}$.

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология.

• Множество ${\displaystyle V\subset X}$ называется окрестностью точки ${\displaystyle x\in X}$, если существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ такое, что ${\displaystyle x\in U\subset V}$.
• Аналогично окрестностью множества ${\displaystyle M\subset X}$ называется такое множество ${\displaystyle V\subset X}$, что существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$, для которого выполнено ${\displaystyle M\subset U\subset V}$.

Замечания

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность ${\displaystyle V}$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество ${\displaystyle U}$. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.^[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
• Окрестностью множества точек ${\displaystyle M}$ называется такое множество ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle V}$ есть окрестность любой точки ${\displaystyle x\in M}$.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда ${\displaystyle (-1,2)}$ является открытой окрестностью, а ${\displaystyle [-1,2]}$ — замкнутой окрестностью точки ${\displaystyle 0}$.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество ${\displaystyle {\dot {V}}}$ называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки ${\displaystyle x\in X}$, если

${\displaystyle {\dot {V}}=V\setminus \{x\},}$

где ${\displaystyle V}$ — окрестность ${\displaystyle x}$.

См. также

• Глоссарий общей топологии