Простое кольцо (алгебра)

Простое кольцо — кольцо ${\displaystyle R}$, такое, что ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\}}$ и в ${\displaystyle R}$ нет двусторонних идеалов, отличных от ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \{0\}}$.

Примеры и теоремы

• Рассмотрим кольцо ${\displaystyle R}$, такое, что ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\}}$, и аддитивная группа ${\displaystyle \langle R,+\rangle }$ имеет простой порядок. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ — простое, так как в ${\displaystyle \langle R,+\rangle }$ нет собственных подгрупп.
• Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
• Ассоциативное коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ простое кольцо.
• Если ${\displaystyle P}$ — поле, ${\displaystyle n}$ — натуральное число, то кольцо матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (P,n)}$ — простое.

Теорема Веддербёрна

Пусть ${\displaystyle R}$ — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ изоморфно кольцу всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над некоторым телом. При этом ${\displaystyle n}$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела ${\displaystyle D}$ кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)}$ является простым кольцом.

Литература

• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.