Пространство Орлича

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега. Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича.

Определение

Определение 1

Пусть ${\displaystyle M}$ — некоторая фиксированная ${\displaystyle N}$-функция^[1], а ${\displaystyle N}$ — дополнительная^[2] к ней ${\displaystyle N}$-функция; ${\displaystyle G}$ — множество конечной меры.

Пространством Орлича ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ называется совокупность всех измеримых функций ${\displaystyle u(x)}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle (u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty }$ при всех ${\displaystyle v(x)}$, таких что ${\displaystyle \int _{G}N[u(x)]dx<\infty }$.

В пространстве Орлича задана норма Орлича: ${\displaystyle \|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|}$.

Определение 2

Пусть ${\displaystyle M}$ — некоторая фиксированная ${\displaystyle N}$-функция.

Пространством Орлича ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ называется множество всех измеримых функций ${\displaystyle u(x)}$, имеющих конечную норму Люксембурга ${\displaystyle \|u\|_{(M)}=\inf\{k:\int _{G}M\left({\frac {u(x)}{k}}\right)dx\leqslant 1\}.}$

Эквивалентность определений

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой ${\displaystyle u}$ выполнены неравенства ${\displaystyle \|u\|_{(M)}\leqslant \|u\|_{M}\leqslant 2\|u\|_{(M)}.}$

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

Свойства

• ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ — банахово пространство.

• ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle M}$ удовлетворяет ${\displaystyle \Delta _{2}}$-условию^[3].

• Назовем классом Орлича ${\displaystyle L_{M}}$ множество таких измеримых функций, для которых ${\displaystyle \int _{G}M[u(x)]dx<\infty .}$ Пространство Орлича ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ совпадает с классом Орлича ${\displaystyle L_{M}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ удовлетворяет ${\displaystyle \Delta _{2}}$-условию.

• Пространством ${\displaystyle E_{M}}$ назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в ${\displaystyle L_{M}}$. Если ${\displaystyle M}$ удовлетворяет ${\displaystyle \Delta _{2}}$-условию, ${\displaystyle E_{M}=L_{M}=L_{M}^{*}}$. В противном случае ${\displaystyle E_{M}\varsubsetneq L_{M}\varsubsetneq L_{M}^{*}}$.

• ${\displaystyle E_{M}}$ сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.

• ${\displaystyle L_{M}^{*}}$ является сопряженным пространством к ${\displaystyle E_{N}}$, где ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — дополнительные друг к другу ${\displaystyle N}$-функции.

• Если ${\displaystyle M_{1}\prec M_{2}}$^[4], то ${\displaystyle L_{M_{2}}^{*}\subset L_{M_{1}}^{*}}$. Верно и обратное.

Примеры

• Если ${\displaystyle M(x)=|x|^{p},\ p\in (1,\infty )}$ то ${\displaystyle L_{M}^{*}=L_{p}}$.