Пространство Шварца

Пространство Шварца — пространство быстро убывающих функций. Формально говоря, состоит из таких бесконечно дифференцируемых вещественных функций ${\displaystyle f(x)}$, что ${\displaystyle x^{n}\partial ^{k}(f(x))\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle |x|\rightarrow \infty }$. Это значит, что сама функция и все её производные на бесконечности стремятся к нулю быстрее любой степенной функции ${\displaystyle x^{\alpha }}$.^[1] Простейшим примером функции из этого пространства будет бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем. Название дано в честь французского математика Лорана Шварца.

Данное пространство используется, например, при построении пространства основных функций и играет достаточно важную роль в функциональном анализе и уравнениях в частных производных.^{[B: 1][B: 2]}

Преобразование Фурье можно рассматривать как взаимно однозначное отображение пространства Шварца на себя. Иными словами, на пространстве Шварца прямое и обратное преобразования Фурье можно изучать единообразно.^[2]

См. также

• Функциональный анализ
• Пространство Фреше
• Преобразование Фурье