Противоположная теорема

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ является противоположной к ней^[1]. Здесь ${\displaystyle {\overline {A}}}$ — отрицание ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\overline {B}}}$ — отрицание ${\displaystyle B}$. Доказательство необходимости и достаточности условий ${\displaystyle A}$ теоремы ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ для её заключения ${\displaystyle B}$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$; ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$) или одной из двух обратных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle B\Rightarrow A}$; ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$)^[2].

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является ${\displaystyle A}$, а заключением ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$: ${\displaystyle A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)}$, то для противоположной теоремы существует пять форм:^[3]

1. ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z}})}$
2. ${\displaystyle {\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z}})}$
3. ${\displaystyle {\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}}$
4. ${\displaystyle A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z}})}$
5. ${\displaystyle Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z}})}$

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})}$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: ${\displaystyle (B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})}$^[1]

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$, прямой, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$, не является прямым, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}}$.

См. также

• Обратная теорема