Псевдогруппа преобразований

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle M}$, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определение

Псевдогруппа преобразований ${\displaystyle \Gamma }$ многообразия ${\displaystyle M}$ состоит из локальных преобразований, то есть пар вида ${\displaystyle p=(D_{p},{\bar {p}})}$, где ${\displaystyle D_{p}}$ — открытое подмножество в ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle {\bar {p}}}$ — диффеоморфизм ${\displaystyle D_{p}\to M}$, причём предполагается, что

1. ${\displaystyle p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q}}^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q}}(D_{q})),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma }$
2. ${\displaystyle p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma }$
3. ${\displaystyle (M,id)\in \Gamma }$,
4. если ${\displaystyle p}$ — диффеоморфизм открытого подмножества ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }}$, где ${\displaystyle D_{\alpha }}$ — открытые подмножества в ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle (D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma }$ для любого ${\displaystyle \alpha }$.

Примеры

• Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
• Пусть ${\displaystyle M}$ гладкое многообразие и на котором гладко действует группа ${\displaystyle G}$ тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество ${\displaystyle \Omega }$ является псевдогруппой преобразований. Точнее ${\displaystyle p=(D_{p},{\bar {p}})}$ содержится в псевдогруппе если ${\displaystyle {\bar {p}}\in G}$ и ${\displaystyle D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega }$.

Связанные определения

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на ${\displaystyle M}$ отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.

Типы псевдогрупп

Псевдогруппа преобразований ${\displaystyle \Gamma }$ многообразия ${\displaystyle M}$ называется

• транзитивной, если ${\displaystyle M}$ — её единственная орбита,
• примитивной, если в ${\displaystyle M}$ нет нетривиальных гладких ${\displaystyle \Gamma }$-инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщения

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.