Пятеричная система счисления

Пятеричная система — система счисления с основанием 5. Возможным происхождением пятеричной системы является тот факт, что на каждой руке по пять пальцев. В пятеричной системе для представления любого вещественного числа используются пять цифр от 0 до 4. Согласно этому методу, пять записывается как 10, двадцать пять записывается как 100 и т. д.. Поскольку пять — простое число, то только обратные числа степеней пяти заканчиваются, хотя его расположение между двумя составными числами 4 и 6 гарантирует, что многие повторяющиеся дроби имеют относительно короткие периоды.

Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Фибоначчиева
Единичная (унарная)

Сравнение с другими системами счисления

Таблица умножения в пятеричной системе счисления

×	1	2	3	4	10	11	12	13	14	20
1	1	2	3	4	10	11	12	13	14	20
2	2	4	11	13	20	22	24	31	33	40
3	3	11	14	22	30	33	41	44	102	110
4	4	13	22	31	40	44	103	112	121	130
10	10	20	30	40	100	110	120	130	140	200
11	11	22	33	44	110	121	132	143	204	220
12	12	24	41	103	120	132	144	211	223	240
13	13	31	44	112	130	143	211	224	242	310
14	14	33	102	121	140	204	223	242	311	330
20	20	40	110	130	200	220	240	310	330	400

Числа от 1 до 25 в стандартной пятеричной системе счисления

Пятеричная	0	1	2	3	4	10	11	12	13	14	20	21	22
Двоичная	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100
Десятичная	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пятеричная	23	24	30	31	32	33	34	40	41	42	43	44	100
Двоичная	1101	1110	1111	10000	10001	10010	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001
Десятичная	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Дроби в пятеричной системе счисления

Десятичная (часть в периоде)	Пятеричная (часть в периоде)	Двоичная (часть в периоде)
1/2 = 0.5	1/2 = 0.2	1/10 = 0.1
1/3 = 0.3	1/3 = 0.13	1/11 = 0.01
1/4 = 0.25	1/4 = 0.1	1/100 = 0.01
1/5 = 0.2	1/10 = 0.1	1/101 = 0.0011
1/6 = 0.16	1/11 = 0.04	1/110 = 0.001
1/7 = 0.142857	1/12 = 0.032412	1/111 = 0.001
1/8 = 0.125	1/13 = 0.03	1/1000 = 0.001
1/9 = 0.1	1/14 = 0.023421	1/1001 = 0.000111
1/10 = 0.1	1/20 = 0.02	1/1010 = 0.00011
1/11 = 0.09	1/21 = 0.02114	1/1011 = 0.0001011101
1/12 = 0.083	1/22 = 0.02	1/1100 = 0.0001
1/13 = 0.076923	1/23 = 0.0143	1/1101 = 0.000100111011
1/14 = 0.0714285	1/24 = 0.013431	1/1110 = 0.0001
1/15 = 0.06	1/30 = 0.013	1/1111 = 0.0001
1/16 = 0.0625	1/31 = 0.0124	1/10000 = 0.0001
1/17 = 0.0588235294117647	1/32 = 0.0121340243231042	1/10001 = 0.00001111
1/18 = 0.05	1/33 = 0.011433	1/10010 = 0.0000111
1/19 = 0.052631578947368421	1/34 = 0.011242141	1/10011 = 0.000011010111100101
1/20 = 0.05	1/40 = 0.01	1/10100 = 0.000011
1/21 = 0.047619	1/41 = 0.010434	1/10101 = 0.000011
1/22 = 0.045	1/42 = 0.01032	1/10110 = 0.00001011101
1/23 = 0.0434782608695652173913	1/43 = 0.0102041332143424031123	1/10111 = 0.00001011001
1/24 = 0.0416	1/44 = 0.01	1/11000 = 0.00001
1/25 = 0.04	1/100 = 0.01	1/11001 = 0.00001010001111010111

Использование

Во многих языках используется квинтильная система счисления, в том числе в гуматже, нунггубую,  куурн-копан-нут,  луисеньо,  и саравеке. Сообщается, что гуматж — это настоящий язык «5–25», в котором 25 — это старшая группа из 5. Цифры в гуматже представлены ниже:

Число	Пятеричная	Числительное
1	1	ванггани
2	2	маррма
3	3	лурркун
4	4	дамбумириу
5	10	вангани рулу
10	20	маррма рулу
15	30	лурркун рулу
20	40	дамбумирулу
25	100	дамбумирри рулу
50	200	маррма дамбумирри рулу
75	300	лурккун дамбумирри рулу
100	400	дамбумиру дамбумирри рулу
125	1000	дамбумирри дамбумирри рулу
625	10000	дамбумирри дамбумирри дамбумирри рулу

Однако Харальд Хаммарстрём сообщает, что «обычно в этом языке не используются точные числа для такого высокого счёта, и есть определённая вероятность того, что система была расширена до таких значений только во время опроса одного-единственного носителя языка», — указывая на язык биват как на аналогичный случай (ранее засвидетельствованный как 5-20, но с одним носителем языка, который ввёл новшество и сделал счёт 5-25).

Биквинарий

В этом разделе цифры указаны в десятичной системе счисления.

Десятичная система с двумя и пятью в качестве дополнительных оснований называется двоично-пятеричной и используется в волофском и кхмерском языках. Римские цифры — это ранняя двоично-пятеричная система. Числа 1, 5, 10 и 50 записываются как I, V, X и L соответственно. Семь — это VII, а семьдесят — LXX. Полный список символов:

Римская	I	V	X	L	C	D	M
Десятичная	1	5	10	50	100	500	1000

Тем не менее, это не позиционные системы счисления. Теоретически такое число, как 73, можно записать как IIIXXL (без двусмысленности) и как LXXIII. Чтобы римские цифры можно было использовать для обозначения чисел больше тысячи, был добавлен vinculum (горизонтальная черта), который умножал значение буквы на тысячу, например, перечеркнутая M̅ — это один миллион. Кроме того, не было знака для обозначения нуля. С появлением инверсий, таких как IV и IX, необходимо было сохранить порядок от наиболее значимого к наименее значимому числу.

Во многих версиях абака, таких как суанпан и соробан, для упрощения вычислений используется двоичная система, имитирующая десятичную. Числа культуры полей погребальных урн и некоторые системы подсчёта очков также являются двоичными. Единицы измерения валют обычно частично или полностью двоичные.

Двоично-десятичное кодирование — это вариант двоичного кодирования, который использовался в ряде ранних компьютеров, включая Colossus и IBM 650 для представления десятичных чисел.

Калькуляторы и языки програмирования

Немногие калькуляторы поддерживают вычисления в квинтильной системе, за исключением некоторых Sharp моделей (в том числе некоторых моделей серий EL-500W и EL-500X, где она называется пентальной системой) примерно с 2005 года, а также научного калькулятора с открытым исходным кодом WP 34S.

Ссылки