Пятиугольник (решётка)

Пятиугольник, или пентагон (от др.-греч. πεντάγωνον — пятиугольник^[1]), ${\displaystyle N_{5}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{5}}$ (англ. pentagon^[2]) — абстрактная алгебраическая решётка из 5 элементов с диаграммой Хассе, показанной справа^[3][4].

Диаграмма Хассе пятиугольника ${\displaystyle N_{5}}$

Эту решётку можно построить, например, на множестве ${\displaystyle \{1,\,2,\,3,\,4\}}$ и его трёх подмножествах ${\displaystyle a=\{3,\,4\}}$, ${\displaystyle b=\{2,\,3,\,4\}}$, ${\displaystyle c=\{1,\,2\}}$ с обычными отношениями включения и равенства множеств. Эта решётка — наименьшая немодулярная, так как три её средние элемента ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ не отвечают модулярному закону. Действительно^[3]: ${\displaystyle a\subseteq b}$, но

${\displaystyle a+(b\cdot c)=a\neq b=b\cdot (a+c)}$.

Описания пятиугольника ${\displaystyle N_{5}}$

${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$		${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle b}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle b}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
Таблицы сложения и умножения

Диаграмма Эйлера

${\displaystyle {}-\!\!\!\langle \,=\{\langle 0,\,a\rangle ,\langle 0,\,c\rangle ,\langle a,\,b\rangle ,\langle b,\,1\rangle ,\langle c,\,1\rangle \}}$

Отношение покрываемости

Пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$ — единственная пятиэлементная немодулярная решётка. Более того, ${\displaystyle N_{5}}$ есть подрешётка произвольной немодулярной решётки, другими словами, это наименьшая немодулярная решётка^[5].

Две пятиэлементные решётки, пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$ и ромб ${\displaystyle M_{3}}$, — типичные примеры недистрибутивной решётки, которые играют важную роль в теории решёток^[4].

• Неизоморфные диаграммы Хассе решёток с 5 элементами
• 
  Само­двой­ст­вен­ная
• 
  Пяти­у­голь­ник ${\displaystyle N_{5}}$^[3][6]. Само­двой­ст­вен­ная
• 
  Ромб ${\displaystyle M_{3}}$^[7][6]. Самодвой­ственная
• 
  Двой­ст­вен­ная сле­ду­ю­щей
• 
  Двой­ст­вен­ная пре­ды­ду­щей

Решётка модулярна тогда и только тогда, когда пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$ в ней не содержится, то есть не изоморфен какой-либо подрешётке^[8][3].

Решётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда ни пятиугольник ${\displaystyle N_{5}}$, ни ромб ${\displaystyle M_{3}}$ в ней не содержатся, то есть они не изоморфны каким-либо подрешёткам^[4][9].