Равногранный тетраэдр

Равногранный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.

По-видимому, впервые равногранные тетраэдры подробно изучались Адольфом Шмидтом в 1884 году^[1] и Давидом Бессо в 1886 году^[2]. В 1935 году свойства равногранных тетраэдров систематически изложены в книге^[3].

Определение

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.

Свойства

Существует ряд эквивалентных определений равногранного тетраэдра:

Равногранный тетраэдр с описанным прямоугольным параллелепипедом.

1. описанный около него параллелепипед — прямоугольный;
2. его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
3. его развёртка, полученная при разрезании ломаной из трёх звеньев, — параллелограмм;
4. у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
5. все его трёхгранные углы равны
6. сумма углов треугольников при каждой вершине равна ${\displaystyle \pi }$);
7. сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
8. все его медианы равны;
9. все его высоты равны;
10. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
11. радиусы окружностей описанных около граней равны;
12. периметры граней равны;
13. площади граней равны;
14. противоположные двугранные углы равны;
15. противоположные рёбра равны;
16. центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере;
17. среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях;^[4] (То же свойство выделяет равногранные тетраэдры среди всех замкнутых выпуклых поверхностей.^[5])
18. тетраэдр ${\displaystyle ABCD}$ является равногранным тогда и только тогда когда выполняется равенство ${\displaystyle (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=72\cdot V^{2}}$. Здесь ${\displaystyle a=AB\cdot CD}$, ${\displaystyle b=AC\cdot BD}$, ${\displaystyle c=AD\cdot BC}$, и ${\displaystyle V}$ — объём тетраэдра ${\displaystyle ABCD}$.^[6]