Круг сходимости

Круг сходимости^[1] степенного ряда ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ — это круг вида

${\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|<R\}}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при ${\displaystyle |z-z_{0}|>R}$, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в множество, состоящее из одной точки ${\displaystyle z_{0}}$, когда ${\displaystyle R=0}$, и может совпадать со всей плоскостью переменного ${\displaystyle z}$, когда ${\displaystyle R=\infty }$.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости^[1] ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

${\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow \infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского&nbsp;— Адамара

Основная статья: Теорема Адамара о лакунах

Для степенного ряда

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов ${\displaystyle a_{k(i)}}$ удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta }$

для некоторого фиксированного ${\displaystyle \delta >0}$, круг с центром ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.