Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Теорема Лебега о разложении меры
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Пусть — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева [1] и такая, что . Введём на полукольце всех промежутков вида меру по следующему правилу: . Эту меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами будут заданы следующим образом.
- ,
- ,
- ,
- ,
- Вводные определения
Здесь - правосторонний предел функции в точке (он существует, поскольку функция неубывающая).
Мера может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится — мера Стилтьеса.
Частные случаи производящей функции :
- — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество — из конечного или счётного числа точек (скаляров).
— дискретная мера.
- Функция F непрерывна, монотонно не убывает на , на .
— абсолютно непрерывная мера.
- — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение равно 1 на всём отрезке, но почти всюду ). Мера сосредоточена в точках роста функции.
- Теорема разложения меры
Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной. |
Remove ads
Примечания
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads