Звезда Миттаг-Леффлера

Звездой Миттаг-Леффлера ${\displaystyle S_{f}(z_{0})}$ для аналитической функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ (подразумевается, что ${\displaystyle f}$ аналитична в ${\displaystyle z_{0}}$), называется множество таких точек ${\displaystyle a}$, что функция может быть продолжена аналитически вдоль отрезка ${\displaystyle {\overline {z_{0}a}}}$.

Изображение звезды Миттаг-Леффлера (область, ограниченная синим контуром). Изначальный диск ${\displaystyle U}$ имеет центр в точке ${\displaystyle a}$.

Основным свойством звезды ${\displaystyle S_{f}}$ является возможность разложения функции в функциональный ряд специального вида, сходящийся внутри этой области.

Теорема Миттаг-Леффлера о звезде

Предположим, что ${\displaystyle f}$ — аналитическая функция и ${\displaystyle S_{f}(z_{0})}$ — её звезда Миттаг-Леффлера. Тогда внутри этой звезды функция может быть представлена в виде сходящегося ряда многочленов вида

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{m}^{(n)}{\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}(z-z_{0})^{m}}$,

называемого разложением Миттаг-Леффлера, где коэффициенты ${\displaystyle c_{m}^{(n)}}$ и степени многочленов ${\displaystyle k_{n}}$ определяются однозначно.

См. также

• Аналитическое продолжение