Разностное уравнение

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определённый интервал. Применяется для описания дискретных систем.

Наиболее известный пример — рекуррентное уравнение гамма-функции ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)}$; при этом гамма-функция — не единственное решение этого разностного уравнения, например, функция ${\displaystyle \sin {(2\pi z})\cdot \Gamma (z)}$ также удовлетворяет этому уравнению.

Линейное разностное уравнение может быть записано в форме:

${\displaystyle s(n)=c_{1}s(n-1)+c_{2}s(n-2)+\dots +c_{d}s(n-d)}$,

где ${\displaystyle d}$ коэффициентов ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{d}}$ являются константами. Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения.

Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества:

${\displaystyle F(z+a)=\exp \left(a\,{\frac {d}{dz}}\right)F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}\,F^{(n)}}{n!}}=F(z)+a\,F'(z)+{\frac {a^{2}\,F''(z)}{2}}\dots }$

Литература

• В. А. Дородницын. Групповые свойства разностных уравнений. — М.: Физматлит. — 236 с. — ISBN 5-9221-0171-4.