Распределение (дифференциальная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Распределение.

Распределе́ние (англ. distribution) на многообразии ${\displaystyle M}$ — подрасслоение касательного расслоения многообразия^[1][2]. Другими словами, в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ выбрано линейное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}}$ касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$, которое гладко зависит от точки ${\displaystyle x}$^[3].

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

Определение

Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие и ${\displaystyle k\leqslant n}$. Предположим, что в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ выбрано ${\displaystyle k}$-мерное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}(M)}$ касательного пространства такое, что у любой точки ${\displaystyle x\in M}$ существует окрестность ${\displaystyle U_{x}\subset M}$ и ${\displaystyle k}$ линейно независимых гладких векторных полей ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$, причем для любой точки ${\displaystyle y\in U_{x}}$, векторы ${\displaystyle X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)}$ составляют базис подпространства ${\displaystyle \Delta _{y}\subset T_{y}(M)}$.

В этом случае совокупность ${\displaystyle \Delta }$ всех подпространств ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x\in M}$, называется ${\displaystyle k}$-мерным распределением на многообразии ${\displaystyle M}$.

При этом векторные поля ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ называется локальным базисом распределения ${\displaystyle \Delta .}$

Инволютивные распределения

Распределение ${\displaystyle \Delta }$ на ${\displaystyle M}$ называется инволютивным, если в окрестности каждой точки ${\displaystyle x\in M}$ существует локальный базис распределения ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ такой, что все скобки Ли векторных полей ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ принадлежат линейной оболочке ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$, то есть ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ являются линейными комбинациями векторов ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.}$ Условие инволютивности распределения ${\displaystyle \Delta }$ записывается как ${\displaystyle [\Delta ,\Delta ]\subset \Delta }$.

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-форм

На открытом множестве ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle k}$-мерное распределение ${\displaystyle \Delta }$ может быть задано системой гладких 1-форм ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}}$, определенных в ${\displaystyle U}$ и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями ${\displaystyle \omega _{i}(\xi )=0}$. Если ${\displaystyle \{\omega _{1}\dots ,\omega _{n-k}\}}$ и ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots ,\omega _{n-k}'\}}$ — системы 1-форм, определяющие распределение ${\displaystyle \Delta }$ в ${\displaystyle U}$ и в ${\displaystyle U'}$, то в пересечении ${\displaystyle U\cap U'}$ форма ${\displaystyle \omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j}}$, где ${\displaystyle \phi _{ij}}$ — такие гладкие функции, что ${\displaystyle \det(\phi _{ij})\neq 0}$ в ${\displaystyle U\cap U'}$. Если ${\displaystyle U=M}$, говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределения

${\displaystyle k}$-мерное распределение называется интегрируемым, или фробениусовым, если через каждую точку ${\displaystyle x\in M}$ проходит ${\displaystyle k}$-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В ${\displaystyle k}$-мерном случае, ${\displaystyle k>1}$, существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

Теорема: ${\displaystyle k}$-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

Теорема: ${\displaystyle k}$-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}}$, интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

${\displaystyle d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j}}$,

где ${\displaystyle \eta _{j}^{i}}$ — гладкие 1-формы. Если определяющие формы ${\displaystyle \omega _{i}}$ независимы, это условие эквивалентно системе

${\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{n-k}\wedge d\omega _{i}=0}$.

Интегрируемое распределение ${\displaystyle \Delta }$ определяет слоение на многообразии ${\displaystyle M}$: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что ${\displaystyle 1}$-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает ${\displaystyle 1}$-мерное слоение.

Теорема Тёрстона

Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому ^[4],^[5].

Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером^[6].

См. также

• Слоение
• Пфаффово уравнение
• Субриманово многообразие