Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Распределение (дифференциальная геометрия)
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Распределе́ние (англ. distribution) на многообразии — подрасслоение касательного расслоения многообразия[1][2]. Другими словами, в каждой точке выбрано линейное подпространство касательного пространства , которое гладко зависит от точки [3].
Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.
Remove ads
Определение
Пусть — гладкое -мерное многообразие и . Предположим, что в каждой точке выбрано -мерное подпространство касательного пространства такое, что у любой точки существует окрестность и линейно независимых гладких векторных полей , причем для любой точки , векторы составляют базис подпространства .
В этом случае совокупность всех подпространств , называется -мерным распределением на многообразии .
При этом векторные поля называется локальным базисом распределения
Remove ads
Инволютивные распределения
Распределение на называется инволютивным, если в окрестности каждой точки существует локальный базис распределения такой, что все скобки Ли векторных полей принадлежат линейной оболочке , то есть являются линейными комбинациями векторов Условие инволютивности распределения записывается как .
Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.
Remove ads
Задание распределения системой 1-форм
На открытом множестве -мерное распределение может быть задано системой гладких 1-форм , определенных в и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями . Если и — системы 1-форм, определяющие распределение в и в , то в пересечении форма , где — такие гладкие функции, что в . Если , говорят, что задана глобальная определяющая система форм.
Remove ads
Интегрируемость распределения
Суммиров вкратце
Перспектива
-мерное распределение называется интегрируемым, или фробениусовым, если через каждую точку проходит -мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.
Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
В -мерном случае, , существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.
Теорема Фробениуса в терминах векторных полей
Теорема: -мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.
Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.
Теорема Фробениуса в терминах 1-форм
Теорема: -мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм , интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал
,
где — гладкие 1-формы. Если определяющие формы независимы, это условие эквивалентно системе
.
Интегрируемое распределение определяет слоение на многообразии : его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что -мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает -мерное слоение.
Теорема Тёрстона
Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому [4],[5].
Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером[6].
Remove ads
См. также
Примечания
Источники
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads