Риск (теория принятия решений)

Риск (теория принятия решений) — математическое ожидание функции потерь вследствие принятия решения.

Риск является количественной оценкой последствий принятого решения. Минимизация риска является главным критерием оптимальности в теории принятия решений.

Средний риск

Средний риск ${\displaystyle R(\varphi )}$ вычисляется для известных распределений вероятностей наблюдаемых данных ${\displaystyle x}$ и ненаблюдаемых параметров ${\displaystyle \lambda }$. Представляет собой линейный функционал от условной плотности вероятности ${\displaystyle \varphi (u\mid x)}$ принятия решения ${\displaystyle u}$ при заданном значении ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle R(\varphi )=M\left\{g(u,\lambda ,x)\right\}=\int \int \int g(u,\lambda ,x)\varphi (u\mid x)P(x\mid \lambda )p(\lambda )dudxd\lambda }$

Здесь ${\displaystyle g(u,\lambda ,x)}$ - функция потерь. Оптимизация правила принятия решения заключается в определении такой функции ${\displaystyle \varphi (u\mid x)}$, которая обеспечивает минимум функционала ${\displaystyle R(\varphi )}$^[1].

Априорный риск

Априорный риск ${\displaystyle g(u)}$ означает априорную оценку потерь, возникших вследствие принятого решения ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle g(u)=\int \int g(u,\lambda ,x)P(x\mid \lambda )p(\lambda )dxd\lambda }$

Априорный риск определяет потери, связанные с решением ${\displaystyle u}$ при отсутствии данных наблюдения ${\displaystyle x}$^[2][3].

Апостериорный риск

Апостериорным риском ${\displaystyle R(u,x)}$ называется условное математическое ожидание функции потерь для возможного решения ${\displaystyle u}$ при данном значении ${\displaystyle x}$^[2]:

${\displaystyle R(u,x)=\int \int g(u,\lambda ,x)p(\lambda \mid x)d\lambda ={\frac {\int g(u,\lambda ,x)p(x\mid \lambda )p(\lambda )d\lambda }{\int p(x\mid \lambda )p(\lambda )d\lambda }}}$

Апостериорный риск даёт оценку потерь принятого решения ${\displaystyle u}$ при данном значении ${\displaystyle x}$^[4].

Условный риск

Условный риск представляет собой условное математическое ожидание функции потерь при заданном значении ненаблюдаемых параметров ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle r(\varphi ,\lambda )=\int \int g(u,\lambda ,x)\varphi (u\mid x)P(x\mid \lambda )dudx}$

Условный риск означает математическую оценку последствий принятого решения в среднем по всем возможным значениям наблюдаемых данных ${\displaystyle x}$, которые могут встретиться на практике^[5].